Question

已知抛物线y＝－x²＋2mx－m²＋2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点(不与点A、B重合)，过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P．

(1)若点C(1，a)是线段AB的中点，求点P的坐标；

(2)若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC＝CP，求△OEP的面积S的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解答：解：(1)依题意得顶点A的坐标为(2，a)， 　　设P(1，n)据x＝－，得A点的横坐标为m，即m＝2， 　　所以y＝x2＋4x－2，把P点的坐标代入得n＝1， 　　即P点的坐标为(1，1) 　　(2)把抛物线化为顶点式：y＝－(x－m)2＋2， 　　可知A(m，2)，设C(n，2)， 　　把n代入y＝－(x－m)2＋2得y＝－(n－m)2＋2， 　　所以P(n，－(n－m)2＋2) 　　∵AC＝CP 　　∴m－n＝2＋(m－n)2－2， 　　即m－n＝(m－n)2， 　　∴m－n＝0或m－n＝1， 　　又∵C点不与端点A、B重合 　　∴m≠n， 　　即m－n＝1， 　　则A(m，2)，P(m－1，1) 　　由AC＝CP可得BE＝AB 　　∵OB＝2 　　∴OE＝2－m， 　　∴△OPE的面积S＝(2－m)(m－1)＝－(m－)2＋(1＜m＜2)， 　　∴0＜S＜． 　　点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标，并利用题目的已知条件得到有关的方程或不等式，从而求得未知数的值或取值范围． 　　分析：(1)根据题意得顶点A的坐标为(2，a)，然后设P(1，n)代入x＝－，得A点的横坐标为m，求得函数的解析式，把P点的坐标代入得n＝1，从而求得函数的解析式； 　　(2)把抛物线化为顶点式：y＝－(x－m)2＋2，求得其顶点坐标，设C(n，2)，然后表示出P(n，－(n－m)2＋2)根据AC＝CP求得m－n的值，然后表示出OB、OE的值从而表示出△OPE的面积，进而求得面积的取值范围．