题目内容
“灾难无情人有情”，四川汶川发生大地震后，一批武警官兵奉命营救小山两侧A、B两地的被困人员，为了圆满完成空降任务，需知道小山高度及A、B两地的距离．已知当飞机飞至高空C处时，发现飞机与山顶P及村庄B在同一条直线上，且点A、B、C、P在同一平面内，并测得A、B两地的俯角分别为75°和30°，飞机离A地的距离AC=1400米，又知在A处观测山顶P的仰角为45°，求AB两地的距离及小山的高 （结果保留根号）．
分析：首先过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AB于F，根据题意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，然后由三角函数的知识，即可求得AE与EC的值，继而求得AB的值与小山的高．
解答：
解：过点A作AE⊥BC于E，过点P作PH⊥AB于H，
∵根据题意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，
∴∠CAF=∠DCA=75°，∠BCA=∠DCA-∠BCA=45°，
∴∠B=∠CAF-∠BCA=75°-45°=30°，
∴AE=EC=AC•sin∠ECA=1400×
=700
（米）
∴AB=
=
=1400
（米），
∴BE=AB•cos∠B=1400
×
=700
（米），
∴BC=BE+EC=700
+700
（米），
∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，
∴△ABP∽△CBA，
∴
=
，
∴
=
，
解得：PH=700
-700
（米）．
∴AB=1400
米，山高为（700
-700
）米．
解：过点A作AE⊥BC于E，过点P作PH⊥AB于H，∵根据题意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，
∴∠CAF=∠DCA=75°，∠BCA=∠DCA-∠BCA=45°，
∴∠B=∠CAF-∠BCA=75°-45°=30°，
∴AE=EC=AC•sin∠ECA=1400×
| ||
| 2 |
| 2 |
∴AB=
| AE |
| sin∠B |
700
| ||
|
| 2 |
∴BE=AB•cos∠B=1400
| 2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
∴BC=BE+EC=700
| 6 |
| 2 |
∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，
∴△ABP∽△CBA，
∴
| AB |
| BC |
| PH |
| AE |
∴
1400
| ||||
700
|
| PH | ||
700
|
解得：PH=700
| 6 |
| 2 |
∴AB=1400
| 2 |
| 6 |
| 2 |
点评：此题考查仰角与俯角的定义，直角三角形的求解方法等知识．解此题的关键是借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形．
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