Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知OA=

5

，tan∠AOC=

1

2

，点B的坐标为（

1

2

，m）．
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②利用图象，写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围；
③求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥x轴于E点，根据正切的定义得到

AE

OE

=

1

2

，即OE=2AE，然后根据勾股定理有OA²=OE²+AE²，而OA=

5

，可求得OE=1，从而确定A点坐标为（-2，1），把A（-2，1）代入反比例函数y=

k

x

求出k，即确定反比例函数的解析式；接着把B（

1

2

，m）代入反比例函数解析式中确定B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察图形得到当x＞-2或0＜x＜

1

2

时，一次函数值的图形在反比例函数图形的上方；
（3）先确定D点坐标，然后利用S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD和三角形面积公式进行计算即可．

解答：解：（1）如图，过A作AE⊥x轴于E点，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=

1

2

，
∴

AE

OE

=

1

2

，即OE=2AE，
∵OA²=OE²+AE²，OA=

5

，
∴4AE²+AE²=5，解得AE=1，
∴OE=2，
∴A点坐标为（-2，1），
把A（-2，1）代入反比例函数y=

k

x

得k=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-

2

x

；
把B（

1

2

，m）代入y=-

2

x

得

1

2

m=-2，解得m=-4，
∴点B的坐标为（

1

2

，-4），
把A（-2，1）、B（

1

2

，-4）分别代入y=ax+b得，-2a+b=1，

1

2

a+b=-4，解得a=-2，b=-3，
∴一次函数的解析式为y=-2x-3；

（2）一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为x＞-2或0＜x＜

1

2

；

（3）对于y=-2x-3，令x=0，则y=-3，
∴D点坐标为（0，-3），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×3×2+

1

2

×3×

1

2

=

15

4

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：先根据条件确定点的坐标，然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再运用反比例函数的性质解决问题．