题目内容

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（不含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S．已知在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上．
（1）证明：△SBR∽△ABC；
（2）证明：ST=AP；
（3）设AB=1，PA=x，正方形PTEF的面积为y，试求y与x的函数关系，并求出x的取值范围．

（1）证明：∵PR⊥BC，RS是∠PRB的平分线，
∴∠BRS=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BRS=45°=∠C，∠B=∠B，
∴△SBR∽△ABC；

（2）证明：在△SPT和△AFP中，
∵TP=PF，
由（1）知：∠PST=∠FAP=90°，
又∵∠SPT+∠APF=∠APF+∠AFP=90°，
∴∠SPT=∠AFP，
∴△SPT≌△AFP，
∴ST=AP；

（3）解：∵AP=x，
∴BS=PS= $\text{[math]}$ ，
由（2）知：ST=AP=x，
∴正方形PTEF的面积y=PT²=PS²+ST²=（ $\text{[math]}$ ）²+x²= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
由图知，ST≤SP，即x≤ $\text{[math]}$ ，
∴x≤ $\text{[math]}$ ，
∴x的取值范围是：0＜x≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先由PR⊥BC，RS是∠PRB的平分线，易证△ABC是等腰直角三角形，则可证得∠BRS=45°=∠C，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△SBR∽△ABC；
（2）根据AAS即可证得△SPT≌△AFP，又由全等三角形的对应边相等，即可证得ST=AP；
（3）根据题意分别求得：BS，PS，ST，AP的值，又由勾股定理即可求得正方形PTEF的面积，由ST≤SP，即可求得x的取值范围．
点评：此题考查了全等三角形与相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识的综合应用．题目难度适中，注意数形结合思想的应用．