Question

如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．
 
（1）求证：是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为，，设．
①求关于的函数关系式．
②当时，求的值．

Answer 1

（1）连接DO，根据垂直的定义可得∠3+∠4=90°，由PD=PE，OD=OB可得∠1=∠2，∠5=∠4，又∠2=∠3可得∠1+∠5=90°，即得∠PDO=90°，从而证得结论；（2）①y=x²+144；②

试题分析：（1）连接DO，根据垂直的定义可得∠3+∠4=90°，由PD=PE，OD=OB可得∠1=∠2，∠5=∠4，又∠2=∠3可得∠1+∠5=90°，即得∠PDO=90°，从而证得结论；
（2）①连接PO，在Rt△PDO中PD²=y，DC=4，则PO²=y+（4）²=y+48，在Rt△PCO中OC="x" PC=8，则可得PO²=x²+（8）²=x²+192 ，所以有y+48=x²+192，从而求得结果；
②当x=时，可得y=147，即可得到PD、PE的长，由PC=8可得EC的长，又OC=X=，OB=4可得CB=3，在Rt△BCE中，根据正切函数的定义求解即可.
（1）连接DO
 
∵PC⊥BA
∴∠PCB=90°
∴∠3+∠4=90°
又∵PD=PE，OD=OB
∴∠1=∠2，∠5=∠4
又∵∠2=∠3
∴∠1+∠5=90°
∴∠PDO=90°
∴PD⊥OD
∴PD是QO切线；
（2）①连接PO

在Rt△PDO中PD²=y，DC=4
∴PO²=y+（4）²="y+48"
在Rt△PCO中OC=x，PC=8
∴PO²=x²+（8）²=x²+192
∴y+48=x²+192
∴y=x²+144
②当x=时，y=147
∴PD==7
∴PE=PD=7 
∵PC=8
∴EC=8-7=
又∵OC=x=，OB=4
∴CB=3 
在Rt△BCE中，tanB===.
点评：圆的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.