Question

在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，∠C=45°，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．过B作BF⊥CD于F，若AB=2， DC=4．

  （1）求证：四边形ABFD是正方形;  (2 ) 求△ABE的面积．

 

Answer 1

 (1)证明： AB⊥AD，CD⊥AD，BF⊥CD，∴∠DAB=∠ADF=∠DFB=90°…1分

∴四边形ABFD是矩形                                    ……2分

又∠C=45°∠CFB=90°∴∠CBF=45°∴BF=FC                         ……3分

而FC=DC－DF=DC－AB=4－2=2  ∴BF=2=AB  ∴ 四边形ABFD是正方形     ……4分

(2) 解：连结CE,并延长AB交CE于H

 AB⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD   ∴∠HBC=∠BCD=45°               ……5分

而由题意可知, ∠CBE=90°∴∠HBE=45°                              ……6分

而由BC=BE，BH平分∠CBE，得BH垂直平分CE   ∴EH=BH=FC=2      ……7分

∴S_△ABE=AB·EH=×2×2=2                                      ……8分