Question

如图，将圆形纸片沿弦AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，⊙O的切线BC与AO延长线交于点C．

（1）若⊙O半径为6cm，用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径．

（2）求证：AB=BC．

Answer 1

【考点】切线的性质；圆锥的计算；翻折变换（折叠问题）．

【分析】（1）过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，根据题意OE=OA，得出∠OAE=30°，∠AOE=60°，从而求得∠AOB=2∠AOE=120°，根据弧长公式求得弧AB的长，然后根据圆锥的底面周长等于弧长得出2πr=4π，即可求得这个圆锥的底面圆半径；

（2）连接OB，根据切线的性质得出∠OBC=90°，根据三角形外角的性质得出∠C=30°，从而得出∠BAC=∠C，根据等角对等边即可证得结论．

【解答】解：（1）设圆锥的底面圆半径为r，

过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，连接OB，

有折叠可得 OE=OD，

∵OD=OA，

∴OE=OA，

∴在Rt△AOE中∠OAE=30°，则∠AOE=60°，

∵OD⊥AB，

∴∠AOB=2∠AOE=120°，

∴弧AB的长为： =4π，

∴2πr=4π，

∴r=2；

（2）∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠CBO=90°

∴∠C=30°，

∴∠OAE=∠C，

∴AB=BC．

【点评】本题考查了折叠的性质，垂径定理，弧长的计算，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，找出辅助线构建直角三角形是解题的关键．