Question

已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？（9分）

Answer 1

（1）证明：△=（2k+1）²-4×1×4（k-

1

2

）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵无论k取什么实数值，（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）∵x=

2k+1±(2k-3)

2

，
∴x₁=2k-1，x₂=2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k-1，c=2，
当a、b为腰，则a=b=1，而a+b=c，所以这种情况不成立，
当b、c为腰，则2k-1=2，解得k=

3

2

，
此时三角形的周长=2+2+1=5．