题目内容

如图，抛物线y=- $数学公式$ x²- $数学公式$ x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（-3，0）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？请说明理由．

解：（1）由抛物线的解析式知：A（0，1）；
∵BC⊥x轴，且点C（-3，0）
∴点B的横坐标为-3，将其代入抛物线的解析式中，得：
- $\text{[math]}$ ×9+ $\text{[math]}$ ×3+1= $\text{[math]}$
∴点B（-3， $\text{[math]}$ ）；
设直线AB的解析式为：y=kx+1，有：
-3k+1= $\text{[math]}$ ，k=- $\text{[math]}$
∴直线AB：y=- $\text{[math]}$ x+1．

（2）由题意，OE=t，则点E（-t，0）；（0≤t≤3）
当x=-t时，点F（-t， $\text{[math]}$ t+1），点G（-t，- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+1）
∴GF=|（- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+1）-（ $\text{[math]}$ t+1）|=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t
即：s=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t（0≤t≤3）．

（3）因为BC⊥x轴，GE⊥x轴，所以BC∥GF；
若四边形BCFG是平行四边形，那么BC=FG，即：
s=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ ，解得：t=1或2．
当t=1时，点F（-1， $\text{[math]}$ ），CF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即CF=BC，该平行四边形是菱形；
当t=2时，点F（-2，2），CF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即CF≠BC，该平行四边形不是菱形；
综上，当t=1或2时，四边形BCFG是平行四边形，其中t=1时，该平行四边形是菱形．
分析：（1）B、C的横坐标相同，将该横坐标代入抛物线的解析式中能确定B的坐标，点A的坐标易知，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）首先根据E点的运动速度和运动时间，能求出OE长，即可得到E点横坐标，再将其代入直线AB和抛物线的解析式中得到F、G的坐标，由此求出线段GF的长度s和t的函数关系式．
（3）从图中可以明显看出：BC∥FG，若四边形BCFG是平行四边形，必须满足的条件是：BC=FG，据此列方程求出t的值；判断此时该平行四边形是否为菱形时，只需取BC是否与CF相等进行验证即可．
点评：题目主要考查了函数解析式的确定、二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，总体难度较为适中，体现了数形结合的数学思想．