Question

10．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，BC=12，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，则BD的长为13．

Answer 1

分析 由于AD=AC，∠CAD=90°，则可将△ABD绕点A顺时针旋转90°得△AEC，如图，根据旋转的性质得∠BAE=90°，AB=AE，BD=CE，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，则∠ABE=45°，BE=$\sqrt{2}$AB=5，易得∠CBE=90°，然后在Rt△CBE中利用勾股定理计算出CE=13，从而得到BD=13．

解答 解：∵△ADC为等腰直角三角形，
∴AD=AC，∠CAD=90°，
将△ABD绕点A顺时针旋转90°得△AEC，如图，
∴∠BAE=90°，AB=AE，BD=CE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=5，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBE=45°+45°=90°，
在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴BD=13．
故答案为13．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键的利用旋转得到直角三角形CBE．