题目内容

画一个边长为1的等边三角形（如图1），将它的边长三等分，各取中间的一段，并以此为边分别在原三角形外作3个小等边三角形，得图2，称为第一次分形．同样地，把图2中的6个小等边三角形的每一边三等分，以中间一段为边向形外分别作12个更小的等边三角形如图3，称为第二次分形，依上述方法不断画下去，这个图形的外缘曲线越来越细，像一片美丽的雪花，所得图形称为雪花曲线：
问题：
（1）就对称性而言，图4是图形．
A、中心对称图形；B、轴对称图形；C、既是中心对称图形又是轴对称图形．
（2）图2的周长是．
（3）猜想第n次分形后所得图形的周长是__．
（4）猜想随分形次数n的逐渐增大，所得图形的面积将越来越接近于什么图形的面积？

解：（1）根据图形分形规律，其对称性与原等边三角形的对称性相同．故选C．

（2）根据题意，边长为 $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ ，
∴周长为 $\text{[math]}$ ×3=4；

（3）n次分形，边长变为原来的 $\text{[math]}$ ，
∴周长为3×（ $\text{[math]}$ ×1=3×（ $\text{[math]}$ ；

（4）原三角形外接圆的面积．
分析：（1）根据图形变化规律，图4仍然关于原三角形的对称轴成轴对称，关于对称轴心成中心对称；
（2）分形后，三角形的边长增加 $\text{[math]}$ ，变为原来的 $\text{[math]}$ ，再乘以3就是周长；
（3）每一次分形后，边长都变为原来的 $\text{[math]}$ ，第n次分形后边长就变为原来的 $\text{[math]}$ 倍，再乘以3就是周长；
（4）n次分形后，图2的顶点之间的空白逐渐被填充，所以其面积越来越接近于原三角形外接圆的面积．
点评：本题是信息给予题，读懂题目信息并灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．