Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°。

（1）求∠NMB的大小；
（2）如果将图中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
（3）你发现有什么样的规律？试证明；
（4）将∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？

Answer 1

解：（1）因为AB=AC， 所以∠B=∠ACB（等边对等角）， 所以∠B=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°， 因为∠BNM=90°，所以∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；
（2）如图①，同（1），同理可得∠BMN=35°；
（3）如图②，∠NMB的大小为∠A的一半；证明如下： 设∠A=α， 因为AB=AC， 所以∠B=∠C， 所以∠B=， 因为∠BNM=90°，所以∠BMN=90°-∠B=90°-， 即∠BMN等于顶角的一半；
（4）将∠A改为钝角，这个规律性的认识也无需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半。