Question

如图，在正方形ABCD中，F是边BC上一点（点F与点B、点C均不重合），AE⊥AF，AE交CD的延长线于点E，连接EF交AD于点G．
（1）求证：BF•FC=DG•EC；
（2）设正方形ABCD的边长为1，是否存在这样的点F，使得AF=FG．若存在，求出这时BF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质，可得AB=AD，再根据已知和同角的余角相等得出可得出∠BAF=∠EAD，从而证明出△BAF≌△EAD，则BF=DE．再根据AD∥BC，推出

DG

FC

=

BF

EC

，化为乘积式即可；
（2）设BF=x，则FC=1-x，EC=1+x，由AF=FG，则∠FAG=∠FGA，再根据AD∥BC，推出△ABF∽△ECF．则

BF

AB

=

FC

EC

，即

x

1

=

1-x

1+x

．从而可求出x，舍去负根，从而求出BF的长．

解答：解：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAD=90°（1分）
又∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°
∴∠BAD=∠EAF，即∠BAF+∠FAD=∠EAD+∠DAF
∴∠BAF=∠EAD（1分）
∴△BAF≌△EAD，∴BF=DE．（1分）
∵AD∥BC，
∴

DG

FC

=

ED

EC

．∴

DG

FC

=

BF

EC

．（2分）
∴BF•FC=DG•EC．（1分）

（2）设BF=x，则FC=1-x，EC=1+x，
若AF=FG，则∠FAG=∠FGA
∵AD∥BC，∴∠BFA=∠FAG，∠CFE=∠FGA
∴∠BFA=∠CFE，（1分）
又∠ABF=∠ECF=90°
∴△ABF∽△ECF．（1分）
∴

BF

AB

=

FC

EC

，即：

x

1

=

1-x

1+x

．（2分）
∴x²+2x-1=0．（1分）
解得：x=

2

-1．（负根舍去）（1分）
（注：求解的方法很多，参照上述步骤给分．）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、平行线分线段成比例定理．是中考压轴题，难度较大．