Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．
（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB===10，
∴cos∠BAO==，sin∠BAO==．
∵AC为⊙P的直径，
∴△ACD为直角三角形．
∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．
当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA，
即：t+t=8，
解得：t=．
∴t=（秒）时，点Q与点D重合．

（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×=t．
①当0＜t≤时，
DQ=OA-OQ-AD=8-t-t=8-t．
∴S=DQ•CD=（8-t）•t=-t²+t．
∵-=，0＜＜，
∴当t=时，S有最大值为；
②当＜t≤5时，
DQ=OQ+AD-OA=t+t-8=t-8．
∴S=DQ•CD=（t-8）•t=t²-t．
∵-=，＜，所以S随t的增大而增大，
∴当t=5时，S有最大值为15＞．
综上所述，S的最大值为15．

（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，
∴△ACQ∽△AOB，
∴=，
即=，
解得t=．
所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤或＜t≤5．
分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；
（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P相切时（0＜t≤）；②重合分离后至运动结束（＜t≤5）．
点评：本题考查了圆综合题型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，但难度不大，关键在于要考虑点Q、D两点重合前后两种情况，这也是本题容易出错的地方．