Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），PC的长为

2

5

；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中（如图①是该过程的某个时刻），请你观察、猜想，并解答：

PF

PE

的值是否发生变化？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）

PF

PE

的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比

PF

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2，再利用锐角三角函数的定义求值．

解答：（1）解：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，则PB=

5

，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴

AP

CD

=

PB

PC

，即

1

2

=

5

PC

，
∴PC=2

5

；
故答案为：2

5

（2）

PF

PE

的值不变，理由为：
证明：过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GFP，
∴

PF

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF=

PF

PE

=2，
∴

PF

PE

的值不变．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，以及解直角三角形，解题的关键是利用互余关系证明相似三角形．