题目内容
【题目】综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，直线
分别与
轴、
轴交于点
，
.双曲线
与直线
交于点
.
（1）求
的值；
（2）在图1中以线段
为边作矩形
，使顶点
在第一象限、顶点
在轴负半轴上.线段
交轴于点
.直接写出点，，的坐标；
（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点
是双曲线上的一个动点，过点作轴的平行线分别交线段，于点
，
.
请从下列，两组题中任选一组题作答.我选择组题.
A.①当四边形
的面积为
时，求点的坐标；
②在①的条件下，连接
，
.坐标平面内是否存在点
（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与
全等?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
B.①当四边形成为菱形时，求点的坐标；
②在①的条件下，连接，.坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）
，
，
；（3）A.①
，②
，
，
；B.①
，②
，
，
.
【解析】
（1）根据点
在
的图象上，求得
的值，从而求得
的值；
（2）点
在直线
上易求得点的坐标，证得
可求得点
的坐标，证得
即可求得点
的坐标；
（3）A.①作
轴，利用平行四边的面积公式先求得点
的纵坐标，从而求得答案；
②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；
B.①作
轴，根据菱形的性质结合相似三角形的性质先求得点的纵坐标，从而求得答案；
②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；
（1）
在的图象上，
，
，
∴点
的坐标是
，
在
的图象上，
∴
，
∴
；
（2）对于一次函数，
当
时，
，
∴点
的坐标是
，
当
时，
，
∴点的坐标是
，
∴
，
，
在矩形
中，
，
，
∴
，
∴
，
，
，
，
∴点的坐标是
，
矩形ABCD中，AB∥DG，
∴
∴点的坐标是
，
故点，，的坐标分别是： ， ， ；
（3）A：①过点
作轴交
轴于点
，
轴，
，
四边形
为平行四边形，
的纵坐标为
，
∴
，
∴
，
∴点的坐标是
，
②当
时，如图1，点
与点关于
轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是
；
当
时，如图2，过点
作
⊥轴于
，直线
交 轴于
，
∵，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∵点的坐标是 ，点的坐标是 ，
∴
，
，
，
点的坐标是
，
当
时，如图3，点
与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是
；
B：①过点
作轴于点
，
，
，
∴，，
，
，
四边形为菱形，
，
∵轴，
∴ME∥BO，
∴
，
，
，
，
的纵坐标为
，
∴
，
∴
，
∴点的坐标是
；
②当时，如图4，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是
；
当时，如图5，过点作⊥轴于，直线交 轴于，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵点的坐标是
，点的坐标是 ， ，
∴
，
，
，
点的坐标是
，
当时，如图6，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是
；
