Question

【题目】综合与探究

如图1，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，.双曲线与直线交于点.

（1）求的值；

（2）在图1中以线段为边作矩形，使顶点在第一象限、顶点在轴负半轴上.线段交轴于点.直接写出点，，的坐标；

（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点是双曲线上的一个动点，过点作轴的平行线分别交线段，于点，.

请从下列，两组题中任选一组题作答.我选择组题.

A.①当四边形的面积为时，求点的坐标；

②在①的条件下，连接，.坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

B.①当四边形成为菱形时，求点的坐标；

②在①的条件下，连接，.坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，；（3）A.①，②，，；B.①，②，，.

【解析】

（1）根据点在的图象上，求得的值，从而求得的值；

（2）点在直线上易求得点的坐标，证得可求得点的坐标，证得即可求得点的坐标；

（3）A.①作轴，利用平行四边的面积公式先求得点的纵坐标，从而求得答案；

②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；

B.①作轴，根据菱形的性质结合相似三角形的性质先求得点的纵坐标，从而求得答案；

②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；

（1）在的图象上，

，

，

∴点的坐标是 ，

在的图象上，

∴，

∴；

（2）对于一次函数，

当时，，

∴点的坐标是 ，

当时，，

∴点的坐标是 ，

∴，，

在矩形中，

，，

∴，

∴，

，

，

，

∴点的坐标是 ，

矩形ABCD中，AB∥DG，

∴

∴点的坐标是 ，

故点，，的坐标分别是： ， ， ；

（3）A：①过点作轴交轴于点，

轴，，

四边形为平行四边形，

的纵坐标为，

∴，

∴，

∴点的坐标是 ，

②当时，如图1，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；

当时，如图2，过点作⊥轴于，直线交 轴于，

∵，

∴，，

∴，

∴，，

∵点的坐标是 ，点的坐标是 ，

∴，，，

点的坐标是 ，

当时，如图3，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；

B：①过点作轴于点

， ， ，

∴，，，

，

四边形为菱形，，

∵轴，

∴ME∥BO，

∴ ，

，

，

，

的纵坐标为，

∴，

∴，

∴点的坐标是；

②当时，如图4，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；

当时，如图5，过点作⊥轴于，直线交 轴于，

∵，

∴，，

∴，

∴，，

∵点的坐标是 ，点的坐标是 ， ，

∴，，，

点的坐标是 ，

当时，如图6，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；