题目内容
（2004•海淀区）如示意图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A是x轴的负半轴上一点，以AO为直径的⊙P经过点C（-8，4）．点E（m，n）在⊙P上，且-10＜m≤-5，n＜0，CE与x轴相交于点M，过C点作直线CN交x轴于点N，交⊙P于点F，使得△CMN是以MN为底的等腰三角形，经过E、F两点的直线与x轴相交于点Q．（1）求出点A的坐标；
（2）当m=-5时，求图象经过E、Q两点的一次函数的解析式；
（3）当点E（m，n）在⊙P上运动时，猜想∠OQE的大小会发生怎样的变化？请对你的猜想加以证明．
【答案】分析：（1）过C点作CD⊥x轴于点K，与⊙P相交于点D，AO为直径．CK=KD，把相关数据代入CK2=AK•KO，可求得点A的坐标为（-10，0）；
（2）连接PD，PE，则m=-5，且P（-5，0），通过证明Rt△KPD∽Rt△PEQ，
得
，即
，所以PQ=
．
则OQ=OQ+PQ=5+
，可求点Q的坐标为
，
设图象经过E、Q两点的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法解得一次函数的解析式为
；
（3）因为-10＜m≤-5，n＜0，可知点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合），在⊙P的四分之一的圆上任取一点E（点E不与点A、点D重合），连接PD，过点E作EH⊥x轴于点H，利用
，得到∠OQE=∠PDK．根据∠PDK的大小始终不变，可知∠OQE的大小始终不变．
解答：
解：（1）如图1，过C点作CD⊥x轴于点K，与⊙P相交于点D，
∵AO为直径，
∴CK=KD，CK2=AK•KO，
∵点C的坐标为（-8，4），
∴CK=4，OK=8，
∴42=AK•8，
∴AK=2，
∴AO=10，
∴点A的坐标为（-10，0）；（2分）
（2）∵P（-5，0），K（-8，0），
∴PK=3，
如图2，连接PD，PE，
∵m=-5，且P（-5，0），
∴PE⊥x轴于P，
又∵点E （-5，n）中⊙，且n＜0，
∴点E的坐标为（-5，-5），
∵△CMN是以MN为底的等腰三角形，
∴∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴
∴PD⊥EF，
∴∠DPK=∠QEP，
∴Rt△KPD∽Rt△PEQ，
∴
，
即
，
∴PQ=
，
∴OQ=OQ+PQ=5+
，
∴点Q的坐标为
，
设图象经过E、Q两点的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴
，
解得
，
∴一次函数的解析式为
；（5分）
（3）猜想：当点E在⊙P上运动时，∠OQE的大小始终保持不变，（6分）
证明：因为-10＜m≤-5，n＜0，可知点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合），
如图，在⊙P的四分之一的圆上任取一点E（点E不与点A、点D重合），连接PD，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴
，
∴PD⊥EF，
∴∠OQE=∠PDK，
∵∠PDK的大小始终不变，
∴∠OQE的大小始终不变，
综上所述，当点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合）时，∠OQE的大小始终不变．（8分）
（注：其他解法酌情给分）
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．
解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义，待定系数法解函数解析式和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．
试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
（2）连接PD，PE，则m=-5，且P（-5，0），通过证明Rt△KPD∽Rt△PEQ，
得
，即
，所以PQ=
．则OQ=OQ+PQ=5+
，可求点Q的坐标为
，设图象经过E、Q两点的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法解得一次函数的解析式为
；（3）因为-10＜m≤-5，n＜0，可知点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合），在⊙P的四分之一的圆上任取一点E（点E不与点A、点D重合），连接PD，过点E作EH⊥x轴于点H，利用
，得到∠OQE=∠PDK．根据∠PDK的大小始终不变，可知∠OQE的大小始终不变．解答：
解：（1）如图1，过C点作CD⊥x轴于点K，与⊙P相交于点D，∵AO为直径，
∴CK=KD，CK2=AK•KO，
∵点C的坐标为（-8，4），
∴CK=4，OK=8，
∴42=AK•8，
∴AK=2，
∴AO=10，
∴点A的坐标为（-10，0）；（2分）
（2）∵P（-5，0），K（-8，0），
∴PK=3，
如图2，连接PD，PE，
∵m=-5，且P（-5，0），
∴PE⊥x轴于P，
又∵点E （-5，n）中⊙，且n＜0，
∴点E的坐标为（-5，-5），
∵△CMN是以MN为底的等腰三角形，
∴∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴
∴PD⊥EF，
∴∠DPK=∠QEP，
∴Rt△KPD∽Rt△PEQ，
∴
，即
，∴PQ=
，∴OQ=OQ+PQ=5+
，∴点Q的坐标为
，设图象经过E、Q两点的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴
，解得
，∴一次函数的解析式为
；（5分）（3）猜想：当点E在⊙P上运动时，∠OQE的大小始终保持不变，（6分）
证明：因为-10＜m≤-5，n＜0，可知点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合），
如图，在⊙P的四分之一的圆上任取一点E（点E不与点A、点D重合），连接PD，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴
，∴PD⊥EF，
∴∠OQE=∠PDK，
∵∠PDK的大小始终不变，
∴∠OQE的大小始终不变，
综上所述，当点E（m，n）在⊙P的四分之一的圆上运动（点E不与点A、点D重合）时，∠OQE的大小始终不变．（8分）
（注：其他解法酌情给分）
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．
解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义，待定系数法解函数解析式和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．
试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
练习册系列答案
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