Question

如图，二次函数y=

1

4

x2+(

m

4

+1)x+m（m＜4）的图象与x轴相交于点A、B两点．
（1）求点A、B的坐标（可用含字母m的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数y=

9

x

的图象相交于点C，且∠BAC的余弦值为

4

5

，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）令二次函数y=0，可求x的值，确定A、B两点坐标；
（2）设直线AC与y轴交于D点，根据cos∠BAC=

4

5

，可知tan∠BAC=

DO

AO

=

3

4

，可确定D点坐标，求出直线AC解析式，与反比例函数解析式联立，可求C点坐标，代入抛物线解析式求m的值．

解答：解：（1）令二次函数y=0，得

1

4

x²+（

m

4

+1）x+m=0，
解得x=-4或-m，
∵m＜4，∴-m＞-4，
∴A（-4，0），B（-m，0）；

（2）设直线AC交y轴于D点，
∵cos∠BAC=

4

5

，∴tan∠BAC=

DO

AO

=

3

4

，即DO=

3

4

AO=3，D（0，3），
∴直线AC解析式为y=

3

4

x+3，联立

y= 3 4 x+3 y= 9 x

，
解得

x=-6 y=- 3 2

或

x=2 y= 9 2

，∴C（2，

9

2

），
将C点坐标代入抛物线解析式，得

1

4

×2²+（

m

4

+1）×2+m=

9

2

，
解得m=1，
∴y=

1

4

x²+

5

4

x+1．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是将已知的锐角三角函数值变形，利用锐角三角函数的定义求出D点坐标，确定直线AC解析式，与已知的反比例函数解析式联立，求C点坐标．