Question

如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，过F作FH⊥BC于H，交BE于G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积．

Answer 1

分析：（1）根据翻折的性质可得∠1=∠2，EC=EF，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥CG，再根据垂直于同一直线的两直线平行求出FG∥CD，从而求出四边形CEFG是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
（2）根据翻折的性质可得BF=BC=10，然后利用勾股定理列式求出AF，从而得到DF的长，设CE=EF=x，表示出DE，在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．

解答：（1）证明：根据翻折，∠1=∠2，EC=EF，
∵FH⊥BC，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠1+∠4=∠BCD=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EF∥CG，
又∵FH⊥BC，∠BCD=90°，
∴FG∥CD，
∴四边形CEFG是平行四边形，
∵EC=EF（已证），
∴四边形CEFG是菱形；

（2）解：根据翻折，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，AF=

BF2-AB2

=

102-82

=6，
∴DF=AD-AF=10-6=4，
设CE=EF=x，则DE=CD-CE=8-x，
在Rt△DEF中，DF²+DE²=EF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
所以，四边形CEFG的面积=CE•DF=5×4=20．

点评：本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，翻折变换的性质，（1）求出四边形CEFG是邻边相等的平行四边形是证明菱形的关键，（2）根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．