Question

如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.

（1）求证：BD=BE；

（2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，

∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形。

∴AC=BE。∴BD=BE。

（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8。

∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，BC=BD·cos∠DBC=8×。

∵BD=BE，BC⊥DE，∴CE=CD=4，∴DE=8

∴四边形ABED的面积=（AB+DE）·BC=×（4+8）×。

【解析】矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证。

（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，根据锐角三角函数求出BC的长（或用勾股定理求），并根据等腰三角形三线合一的性质求出DE的长，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解。