Question

已知，如图中，等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h，若点P在一边BC上（如图①），此时h₃=0，可得结论：h₁+h₂+h₃=h。请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内（如图②）、点P在△ABC外（如图③）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请简述理由；若不成立，h₁、h₂、h₃与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

解：当点P在△ABC内部时，结论h₁+h₂+h₃=h仍然成立。
如图，过点P作NQ∥BC，分别交AB、AC、AM于点N、Q、K，

则△ANQ仍为等边三角形，由①可知h₁+h₂=AK
∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC
∴KM=PF=h₃
∴h₁+h₂+h₃=AK+KM=AM=h
当点P在△ABC外部时，h₁、h₂、h₃与h之间的关系为h₁+h₂-h₃=h，如上图，证法同上。