Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC．下列结论：①∠P+2∠D=180°；②∠COB=∠DAB；③BA平分∠DBP；④∠DBO=∠ABP．其中正确的只有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①③④

Answer 1

A
分析：由PA、PB是⊙O的切线，利用切线的性质，可求得∠P+∠AOB=180°，又由圆周角定理，可得∠AOB=2∠D，即可证得∠P+2∠D=180°；由垂径定理，易得=，=，即可证得∠COB=∠DAB，BA平分∠DBP．
解答：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P+∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP=180°，
∵∠AOB=2∠D，
∴∠P+2∠D=180°，
故①正确；
∵BD⊥AC，AC为⊙O的直径，
∴=，=，
∴∠CAD=∠CAB，AD=AB，
∴∠DAB=2∠CAB，
∵∠COB=2∠CAB，
∴∠COB=∠DAB，
故②正确；
∵AD=AB，
∴∠D=∠ABD，
∵∠ABP=∠D，
∴∠ABD=∠ABP，
∴∠ABD=∠ABP，
即BA平分∠DBP，
故③正确；
∴∠DBO＜∠ABP，
故④错误．
故选A．
点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．