题目内容
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为M（2，1），且过点N（3，2）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若一次函数y=-
x-4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，以PQ为直径作圆交直线AB于点D．设点P的横坐标为n，问：当n为何值时，线段DQ的长取得最小值？最小值为多少？
解：（1）设这个二次函数的关系式为y=a（x-2）2+1．
把x=3，y=2代入得a+1=2，解得a=1．
故这个二次函数的关系式为y=（x-2）2+1（或写成y=x2-4x+5）．
（2）由题意知P（n，n2-4n+5），Q（n，-n-4）．
∴PQ=n2-4n+5-（-n-4）=n2-
n+9=（n-）2+
．
∴当n=时，PQ取得最小值为．
易证△DPQ∽△OAB，
∴
=
，
∴DQ=
PQ．
∴当n=时，DQ取得最小值，为
．
分析：（1）根据函数的顶点坐标为M（2，1），则设函数的解析式是：y=a（x-2）2+1，把N的坐标代入解析式即可求得函数的解析式；
（2）由题意知P（n，n2-4n+5），Q（n，-n-4）． 根据两点之间的距离公式得到当n=时，PQ取得最小值为．再根据相似三角形的性质即可求解．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，两点之间的距离公式，函数的最值，相似三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．
把x=3，y=2代入得a+1=2，解得a=1．
故这个二次函数的关系式为y=（x-2）2+1（或写成y=x2-4x+5）．
（2）由题意知P（n，n2-4n+5），Q（n，-
n-4）． ∴PQ=n2-4n+5-（-
n-4）=n2-n+9=（n-）2+． ∴当n=
时，PQ取得最小值为．易证△DPQ∽△OAB，
∴
=，∴DQ=
PQ．∴当n=
时，DQ取得最小值，为．分析：（1）根据函数的顶点坐标为M（2，1），则设函数的解析式是：y=a（x-2）2+1，把N的坐标代入解析式即可求得函数的解析式；
（2）由题意知P（n，n2-4n+5），Q（n，-
n-4）． 根据两点之间的距离公式得到当n=时，PQ取得最小值为．再根据相似三角形的性质即可求解．点评：本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，两点之间的距离公式，函数的最值，相似三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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