Question

【题目】如图，抛物线与轴相交于两点，点在点的右侧，与轴相交于点.

求点的坐标；

在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标；

点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使以四点构成的四边形为平行四边形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为，或.

【解析】

（1）把y=0代入函数解析式，解方程可求得A、B两点的坐标；把x=0代入函数解析式可求得C点的坐标.
（2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PB+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标；
（3）分两种情况：
①当存在的点N在x轴的上方时，根据对称性可得点N的坐标为（4，）；
②当存在的点N在x轴下方时，作辅助线，构建三角形全等，证明得，即N点的纵坐标为-，列方程可得N的坐标．

（1）当时，

当时，，化简，得

.

解得.

连接，交对称轴于点，连接.

点和点关于抛物线的对称轴对称，

.要使的值最小，则应使的值最小，

所以与对称轴的交点使得的值最小.

设的解析式为.

将代入，

可得，

解得，

抛物线的对称轴为直线

当时，，

①当在轴上方，

此时，且.则

四边形是平行四边形.

②当在轴下方;

作，交于点.

如果四边形是平行四边形.

.

.

又，

.

当时，

，

综上所述，点的坐标为，或.