Question

【题目】如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.

(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;

(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?

②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形?

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①当AM=1时,四边形AMDN是矩形，②当AM=2时,四边形AMDN是菱形.

【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质可得ND∥AM，根据平行线的性质可得∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME，利用AAS证明△NDE≌△MAE，根据全等三角形的性质可得ND=MA，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可的四边形AMDN是平行四边形；（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明△AMD是等边三角形即可．

试题解析：

(1)证明:∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.

又∵点E是AD边的中点，

∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND=MA，

∴四边形AMDN是平行四边形.

(2)①当AM=1时,四边形AMDN是矩形.

理由如下:

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2.

当AM=1=AD时,可得∠ADM=30°.

∵∠DAM=60°，

∴∠AMD=90°，

∴平行四边形AMDN是矩形.

②当AM=2时,四边形AMDN是菱形.

理由如下:

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2.

∵AM=2，

∴AM=AD=2，

又∠DAM=60°，

∴△AMD是等边三角形，

∴AM=DM，

∴平行四边形AMDN是菱形.