题目内容

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
温馨提示：如图，可以作点D关于上轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的，这样，你只需求出直线CD′关系式，就可以确定点E的坐标了．
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

解：（1）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E．
∵OB=4，OA=3，D是OB的中点，
∴OD=2，则D的坐标是（0，2），C的坐标是（3，4）．
∴D′的坐标是（0，-2）．
设直线CD′的解析式是：y=kx+b（k≠0）．
则 $\text{[math]}$ ．
解得： $\text{[math]}$
则直线的解析式是：y=2x-2．
在解析式中，令y=0，得到2x-2=0，
解得x=1．
则E的坐标为（1，0）；

（2）作出D的对称点D′，把D′向右平移两个单位长度到M，则连接CM，与x轴的交点就是F，F点向左平移2个单位长度就是E．
∵D′的坐标是（0，-2），
∴M的坐标是（2，-2）．
设直线CM的解析式是：y=kx+b（k≠0）．
则 $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
则直线的解析式是：y=6x-14．
在y=6x-14中，令y=0，
解得x= $\text{[math]}$ ．
∴点F的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）．
则点E的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）用待定系数法，求出直线CD′的解析式，然后求得与x轴的交点坐标即可；
（2）作出D的对称点D′，把D′向右平移两个单位长度到M，则连接CM，与x轴的交点就是F，F点向左平移2个单位长度就是E．用待定系数法求得直线CM的解析式，与x轴的交点就是F，进而即可求得E的坐标．
点评：本题考查了路线最短问题，以及待定系数法求一次函数的解析式，正确作出E、F的位置是解题的关键．