题目内容

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1= $数学公式$ （∠2+∠3）；（2）∠1=2（∠3-∠2）；（3）∠4= $数学公式$ （∠3-∠2）；（4）∠4= $数学公式$ ∠1．
其中有两个式子是正确的，它们是和．

解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD，
∴∠BAD= $\text{[math]}$ ∠BAC，∠AHE=90°，
∴∠1=90°-∠BAD=90°- $\text{[math]}$ ∠BAC，
而∠BAC=180°-∠2-∠3，
∴∠1=90°- $\text{[math]}$ （180°-∠2-∠3）= $\text{[math]}$ （∠2+∠3）；
又∵∠1=∠2+∠4，
∴∠4=∠1-∠2= $\text{[math]}$ （∠2+∠3）-∠2= $\text{[math]}$ （∠3-∠2）；
故答案为：（1），（3）．
分析：由AD平分∠BAC，EG⊥AD，根据三角形的内角和定理得∴∠1=90°-∠BAD=90°- $\text{[math]}$ ∠BAC，而∠BAC=180°-∠2-∠3，于是∠1=90°- $\text{[math]}$ （180°-∠2-∠3）= $\text{[math]}$ （∠2+∠3）；再根据三角形外角性质得∠1=∠2+∠4，得到∠4=∠1-∠2= $\text{[math]}$ （∠2+∠3）-∠2= $\text{[math]}$ （∠3-∠2）；由此得到正确答案．
点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．也考查了角平分线和垂线的性质以及三角形外角的性质．