Question

阅读下列材料，然后解答后面的问题：
我们知道二元一次方程组的求解方法是消元法，即可将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解．
我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程：
由2x+3y=12得：y==4-x
∵x、y为正整数，∴则有0＜x＜6
又y=4-x为正整数，则x为正整数，所以x为3的倍数．
又因为0＜x＜6，从而x=3，代入：y=4-×3=2
∴2x+3y=12的正整数解为
解决问题：
（1）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元/本，钢笔单价为5元/支，问有几种购买方案？
（2）试求方程组的正整数解．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据3x+5y=35，得y==7-x，进而利用y=7-x，为正整数，则x为正整数，分析得出即可；
（2）利用（1）中计算方法，得出x，y的取值，进而求出z的值即可．
解答：解：（1）设购买了笔记本x本，钢笔y支，
根据题意得出：3x+5y=35，
由题意可得：3x+5y=35，得y==7-x，
∵x，y为正整数，
∴，
则有：0＜x＜，
又y=7-x，为正整数，则x为正整数，
∴x为5的倍数，又∵0＜x＜，从而得出x=5或10，代入：y=4或1，
∴有两种购买方案：
购买的笔记本5本，钢笔4支，
购买的笔记本10本，钢笔1支；

（2）两式相加消去z得5x+2y=22，
由上题方法可得：或，
将代入方程2x+y+z=10得出z=0（不合题意舍去），
将，代入方程2x+y+z=10得出z=1，
∴原方程组的解集为：．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及多元方程组的解法，正确利用已知正整数解这一条件是解题关键．