Question

27、阅读下文，寻找规律：
已知x≠1，观察下列各式：（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）填空：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸．
（2）观察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

．
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=

x¹¹-1

．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=

1-2⁶

．
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=

2²⁰⁰⁸-1

．

Answer 1

分析：观察下列各式（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴可以推出（1-x）（1+x+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，即右边项的最大指数等于左边项最大指数，左边的项是对右边项的因式分解，依此规律分别求解．

解答：解：（1）由（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的最大指数，且左边相当于对右边的因式分解，
所以得出规律：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
即：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸，空白处应填：（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）．

（2）由（1）得出的规律可得：
①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，空白处应填：1-xⁿ⁺¹
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=-（1-x¹¹）=x¹¹-1，空白处应填：x¹¹-1．

（3）由（1）得出的规律可得
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶，空白处应填1-2⁶；
②由（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷）=1-2²⁰⁰⁸得
1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1，空白处应填2²⁰⁰⁸-1．

点评：本题是规律型的，关键在于根据各式发现规律（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，使等式左右两边的最大指数相同且左边是右边的因式分解得规律．