Question

在4点与5点之间，时针与分针在何时
（1）成120°（图）；
（2）成90°（图）．

Answer 1

解：（1）设时针顺时针转过a角后，时针与分针（分针在时钟前）成120°，则
12a=120+a+120，
a=21．
由于时针每转过30°（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1小时（60分钟），
21×2=43分钟．
故在4点43分时，时针与分针成120°；

（2）如图（a），（b）所示．
由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况：
（i）时针在分针之前（如图（a））．设时针转了a度，分针转了12a度，有
120°+α=90°+12α，
所以11α=30°，
a=．
用时×2=5分钟．
（ii）时针在分针之后（如图（b）），此时，有关系
12α-α=120°+90°，
11α=210°，
a=．
用时×2=38分钟．
故在4点与5点之间，在4点5分与4点38分时，时针与分针成90°．
分析：（1）在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合（夹角为0°）．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大（此时，分针在时针的前面）．直到两针夹角又一次成为120°，这个时间正是我们所要求的．
（2）由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况：（i）时针在分针之前；（ii）时针在分针之后．
点评：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．转化为方程解决．说由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，求两针夹角情况会出现一解或两解．