Question

4．无锡某校准备组织学生及学生家长到上海进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列高铁上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需6175元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需3150元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，无锡到上海的火车票价格（高铁学生票只有二等座可以打7.5折）如表所示：

运行区间		票价
上车站	下车站	一等座	二等座
无锡	上海	95（元）	60（元）

（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？

Answer 1

分析 （1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）有两种情况：①当50≤x＜65时，学生都买学生票共50张，（x-50）名成年人买二等座火车票，（65-x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y=60×0.75×50+60（x-50）+95（65-x）；②当0＜x＜50时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（65-x）张，得到解析式是y=-50x+6175；
（3）由（2）小题知，当50≤x＜65时，y=-35x+5420和当0＜x＜50时，y=-50x+6175，分别讨论即可．

解答 解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{95（3m+n）=6175}\\{60（m+2m）+60×0.75n=3150}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=50}\end{array}\right.$，
则2m=10．
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有5、10与50人．
（2）由（1）知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人，
①当50≤x＜65时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共50张，（x-50）名成年人买二等座火车票，（65-x）名成年人买一等座火车票．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=60×0.75×50+60（x-50）+95（65-x），
即y=-35x+5420（50≤x＜65）；
②当0＜x＜50时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（65-x）张．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=60×0.75x+95（65-x），
即y=-50x+6175（0＜x＜50）
（3）由（2）小题知，
当50≤x＜65时，y=-35x+5420，由此可见，当x=64时，y的值最小，最小值为3180元，当x=50时，y的值最大，最大值为3670元．
当0≤x＜50时，y=-50x+6175，由此可见，当x=49时，y的值最小，最小值为3725元，当x=1时，y的值最大，最大值为6125元．
∴可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花3180元，最多要花6125元．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，解决本题的关键是分段函数的运用，函数的最值．考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．