Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）如图1，若点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，作于点，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接，．当最长时，求的最小值；

（2）如图2，将绕点逆时针旋转得，将沿直线平移得到，直线与轴交于点，连接，将 沿边翻折得 ，连接， ，当是等腰三角形时，求此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或 或 ．

【解析】

（1）先求出A、B、C的坐标，直线BC解析式，可推出，设，则，推出时取得最大值，此时最长，作直线，过点作于，交于，交轴于，将转化为PK即可求值；

（2）设，则，，分别表示出，，，再分别讨论两边相等，建立方程求解．

（1）令，得或4，

令得

∴，，

BC=

设直线BC解析式为：，代入，得：

，解得

∴直线BC解析式为

∵，轴，

∴∠PDE=∠CBO

∵∠PED=∠COB=90°

∴△PDE∽△CBO

∴

∴，当取得最大值时，线段最长．

设，则

∴

∵

∴当，即时取得最大值，此时最长

作直线，过点作于，交于，交轴于，与y轴交于F，

易得F点坐标为，

∴

∵∠OAF=∠KAN，∠AOF=∠AKN=90°

∴△AOF∽△AKN

∴，则

此时，

PK的长即为的最小值，

∵

∴设直线PK的解析式为，将代入得：

，解得，即直线PK解析式为

联立与得：

解得，则M坐标为

∴

即的最小值为．

（2）设，则，

∵

∴

当时，，或

当时，，

当时，，

∴或或

∴或或