Question

如图，已知∠XOY=90°，正△PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一顶点B在∠XOY的内部。

(1) 当顶点P在射线OY上移动到点P₁时，连结AP₁，请用尺规作图∠XOY内部作出以AP₁为边的正三角形（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）；

(2) 设AP₁交OB于点C，AB的延长线交B₁P₁于点D. 求证：△ABC∽△AP₁D；

(3 ) 连结BB₁，求∠ABB₁的度数. 

Answer 1

解：(1) 如图.

图形正确………1分    痕迹正确

(2) 证明：∵△PAB和△P₁AB₁都是正三角形，

∴∠ABC=∠AP₁D=60°

又∠BAC=∠P₁AD，∴△ABC∽△AP₁D.

(3) ∵△O(P)AB和△P₁AB₁都是正三角形，

∴AO=AB，AP₁=AB₁，∠PAB=∠P₁AB₁=60°，

∴∠OAP₁=∠BAB₁=60°-∠CAB，

∴△OAP₁≌△BAB₁，

∴∠ABB₁=∠AOP₁=90°.