Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以

5

4

cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示EP；
（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；
（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求当x为何值时，四边形EPDQ面积等于

3

2

．

Answer 1

分析：（1）此题有两种解法：①由于PE∥CD，易证得△APE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PE的长，②根据∠A的正切值求解．
（2）当Q在线段CD上运动时，0＜x＜2.4，若四边形PEDQ是平行四边形，则PE=DQ₁，可用x表示出DQ₁的长，联立PE的表达式列方程求出x的值．
（3）当Q在线段BD上运动时，四边形EPDQ是梯形，DQ、CP的长易求得，即可根据梯形的面积公式求得关于四边形EPDQ的面积与x的一元二次方程，求解即可．

解答：解：（1）∵PE∥CB，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠EAP=∠DAC，
∴△AEP∽△ADC，
∴

AP

AC

=

EP

DC

，
∴

EP

3

=

x

4

，
∴EP=

3

4

x．

（2）由四边形PEDQ₁是平行四边形，可得EP=DQ₁．
即

3

4

x=3-

5

4

x，所以x=1.5．（6分）
∵0＜x＜2.4（7分）
∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形．

（3）S_{四边形EPDQ2}=

1

2

（

3

4

x+

5

4

x-3）•（4-x）
=-x²+

11

2

x-6
∵四边形EPDQ面积等于

3

2

；
∴-x²+

11

2

x-6=

3

2

；
整理得：2x²-11x+15=0
解得：x=3或x=2.5
∴当x为3或2.5时，四边形EPDQ面积等于

3

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、梯形的面积以及二次函数最值的应用；特别是动点问题更是中考的热点考题之一．