Question

【题目】如图，等边△ABC边长为10，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

（1）如图1，当PB＝5时，若点B′恰好在AC边上，求AB′的长度；

（2）如图2，当PB＝8时，若直线1∥AC，求BB′的长度；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）8；（3）面积不变，面积为25

【解析】

（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题．

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题．

（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC即可．

（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝10，

∵PB＝5，

∴PB′＝PB＝PA＝5，

∵∠A＝60°，

∴△APB′是等边三角形，

∴AB′＝AP＝5．

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，

∴△PEB是等边三角形，

∵PB＝8，

∴PB′＝PB＝8，

∵B，B′关于PE对称，

∴BB′⊥PE，BB′＝2OB

∴OB＝4，

∴BB′＝8．

（3）结论：面积不变．

如图3中，连接B'P，BB'，

∵B，B′关于直线l对称，

∴BB′⊥直线l，

∵直线l⊥AC，

∴AC∥BB′，

∴S△ACB′＝S△ACB＝=25．