Question

已知抛物线m：，顶点为A，将抛物线m绕着

点（－1，0） 旋转180°后得到抛物线n，顶点为C.

（1）当a=1时.试求抛物线n的顶点C的坐标，再求它的解析式；

（2）在（1）中，请你分别在抛物线m、n上各取一点B、D（除点A、C外），

使得四边形ABCD成为平行四边形（直接写出所取点的坐标）；

（3）抛物线n与抛物线m的对称轴的交点为P，①若AP=6，试求a的值.

②抛物线m与抛物线n的对称轴的交点为Q，若四边形APCQ能成为菱形，直接求出菱形的周长；若四边形APCQ不能成为菱形，说明理由。

    

Answer 1

（1）当a=1时，抛物线m的解析式为，

顶点A（1，－1），      点A（1，－1）绕着点（－1，0）旋转180°后

所得点C坐标为（－3, 1）,  …………………………………………………………2分

根据题意可得抛物线n的解析式为，或.    …4分

 

（2）如：B（2，0）与D（－4，0） 

         或B（0，0）与D（－2，0）   

或B（3， 3）与.D（－5，－3）

（答案不唯一）…………………………6分

（3）①设抛物线n的解析式为

方法一：

∵A(1,－1), 当x=1时，y==－16a+1，

∴点P ( 1, －16a+1 ) …………………7分

∴  ，                              ………………8分

当1－(－16a + 1 )=6时，解得  a=，……………………………9分

当 (－16a + 1 ) －1=6时，16a=－4，a=，

∴或.                …………………………10分

方法二：①

∵AP=6  ∴P为（1，－7）或（1，5）   …………………………8分

当P为（1，－7）时，代入抛物线n的解析式得…………9分

当P为（1，5）时， 代入抛物线n的解析式得…………10分

    

（3）② 能成为菱形，菱形的周长等于20. …