Question

17．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，?ABCD的顶点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，OA=4，OC=2，点P、点Q分别是边BC、边AB上的动点，△PQB沿PQ所在直线折叠，点B落在点B₁处．
（1）若?OABC是矩形．
①写出点B的坐标．
②如图1，若点B₁落在OA上，且点B₁的坐标为（3，0），求点Q的坐标．
（2）若OC⊥AC，如图2，过点B₁作B₁F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、F．若B₁F=3B₁E，点B₁的横坐标为m，求点B₁的纵坐标（用含m的代数式表示），并直接写出点B₁的所有可能的情况下，m的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）①根据OA=4，OC=2，可得点B的坐标；
②首先设AQ=x，由点B关于PQ的对称点为B₁，可得B₁Q=BQ=2-x，然后由在Rt△AB₁Q中，由AQ²+AB₁²=B₁Q²，得方程：x²+1=（2-x）²，解此方程解可求得答案；
（2）根据平行四边形的性质，且分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析求解可求得答案．

解答 解：（1）∵OA=4，OC=2，
∴点B的坐标为（4，2）；

②设AQ=x，点B关于PQ的对称点为B₁，则B₁Q=BQ=2-x，
∵点B₁落在OA上，点B₁（3，0），
∴OB₁=3，
∴AB₁=4-3=1，
在Rt△AB₁Q中，由AQ²+AB₁²=B₁Q²，
得：x²+1=（2-x）²，
解得：x=$\frac{3}{4}$；
∴点Q的坐标为：（4，$\frac{3}{4}$）；

（2）∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，
∴∠OAC=30°，
∴点C（1，$\sqrt{3}$），
∵B₁F=3B₁E，
∴点B₁不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，
①当点B₁在线段FE的延长线上时，如图2，延长B₁F与y轴交于点G，点B₁的横坐标为m，B₁F∥x轴，
∵B₁F=3B₁E，
∴B₁G=m，
设OG=a，
则GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴CF=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴EF=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a，B₁E=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴B₁G=B₁E+EF+FG=（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）+（4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=m，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$m+$\frac{6}{5}$$\sqrt{3}$，即B₁的纵坐标为-$\frac{\sqrt{3}}{5}$m+$\frac{6}{5}$$\sqrt{3}$，
如图2-1中，当点Q与A重合时，可得点B′横坐标的最小值，
作CH⊥EF于H，B′T⊥OA于T，设FH=n，则CF=2n，EF=4n，EB′=2n，OF=2-2n，FG=1-n，GB=1+5n，
在Rt△AB′T中，易知TB′=OG=$\sqrt{3}$（1-n），AB′=2，AT=4-（1+5n）=3-5n，
∴[$\sqrt{3}$（1-n）]²+（3-5n）²=2²，
解得n=$\frac{2}{7}$或-1（舍弃），
∴GB′=1+$\frac{10}{7}$=$\frac{17}{7}$，
如图2-2中，当点P与C重合时，可得点B′横坐标的最大值，
作CH⊥EF于H，设FH=n，则CF=2n，EF=4n，EB′=2n，OF=2-2n，FG=1-n，GB=1+5n，
在Rt△CB′H中，易知CH=$\sqrt{3}$n，HB′=5n，CB′=CB=4，
∴（$\sqrt{3}$n）²+（5n）²=4²，
解得n=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
∴GB′=1+5n=1+$\frac{10\sqrt{7}}{7}$
∴m的取值范围是$\frac{17}{7}$≤m≤1+$\frac{10}{7}$$\sqrt{7}$；
②当点B₁在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长B₁F与y轴交于点G，点B₁的横坐标为m，B₁F∥x轴，
B₁F=3B₁E，
∴B₁G=m，
设OG=a，
则GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴CF=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴FE=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，B₁F=$\frac{3}{4}$EF=3-$\sqrt{3}$a，
∴B₁G=B₁F+FG=（3-$\sqrt{3}$a）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=m，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，即点B₁的纵坐标为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
同法可求m的取值范围是：$\frac{15}{7}$≤m≤3．
∴m的最大值为：1+$\frac{10}{7}$$\sqrt{7}$，最小值为：$\frac{15}{7}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及勾股定理等知识．解题的关键是利用平行四边形的性质，分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析求解．