Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．

（1）求∠CQP的度数；

（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；

（3）①求y与x之间的函数关系式；

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的．

Answer 1

【答案】（1）∠CQP＝30°；（2）x＝2；（3）①，②

【解析】

（1）由于PQ与BD平行，∠CQP＝∠CDB，因此只需求出∠CDB的度数即可．可在直角三角形ABD中，根据AB，AD的长求出∠ABD的度数，由∠CQP＝∠CDB＝∠ABD即可得出∠CQP的度数；

（2）当R在AB上时，三角形PBR为直角三角形，且∠BPR＝60°（可由（1）的结论得出），根据折叠的性质PR＝CP＝x，然后用x表示出BP的长，在直角三角形可根据∠RPB的余弦值得出关于x的方程即可求出x的值；

（3）①要分两种情况进行讨论：

一、当R在AB或矩形ABCD的内部时，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面积可通过求三角形CQP的面积来得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度数，可用CP即x的值表示出CQ的长，然后根据三角形的面积计算公式可得出y，x的函数关系式；

二、当R在矩形ABCD的外部时，重合部分是个四边形的面积，如果设RQ，RP与AB的交点分别为E、F，那么重合部分就是四边形EFPQ，它的面积＝△CQR的面积﹣△REF的面积．△CQR的面积在一已经得出，关键是求△REF的面积，首先要求出的是两条直角边RE，RF的表达式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的长，即可通过RP﹣PF得出RF的长；在直角三角形REF中，∠RFE＝∠PFB＝30°，可用其正切值表示出RE的长，然后可通过三角形的面积计算公式得出三角形REF的面积．进而得出S与x的函数关系式；

②可将矩形的面积代入①的函数式中，求出x的值，然后根据自变量的取值范围来判定求出的x的值是否符合题意．

解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC．

又AB＝9，AD＝3，∠C＝90°，

∴CD＝9，BC＝3．

∴tan∠CDB＝，

∴∠CDB＝30°．

∵PQ∥BD，

∴∠CQP＝∠CDB＝30°；

（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，

∴∠RPQ＝∠CPQ，RP＝CP．

由（1）知∠CQP＝30°，

∴∠RPQ＝∠CPQ＝60°，

∴∠RPB＝60°，

∴RP＝2BP．

∵CP＝x，

∴PR＝x，PB＝3﹣x．

在△RPB中，根据题意得：2（3﹣x）＝x，

解这个方程得：x＝2；

（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，

，，

∵△RPQ≌△CPQ，

∴当时，

当R在矩形ABCD的外部时（如图2），，

在Rt△PFB中，

∵∠RPB＝60°，

∴PF＝2BP＝2（﹣x），

又∵RP＝CP＝x，

∴RF＝RP﹣PF＝3x﹣6，

在Rt△ERF中，

∵∠EFR＝∠PFB＝30°，

∴ER＝x﹣6．

∴S△ERF＝ER×FR＝x2﹣18x+18，

∵y＝S△RPQ﹣S△ERF，

∴当时，y＝-x2+18x﹣18．

综上所述，y与x之间的函数解析式是：．

②矩形面积＝，

当时，函数随自变量的增大而增大，

所以y的最大值是6，而矩形面积的的值＝，

而，所以，当时，y的值不可能是矩形面积的；

当时，根据题意，得：，

解这个方程，得，

因为，

所以不合题意，舍去．

所以．

综上所述，当时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的．