题目内容

如图，等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于D、E两点，BF与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点F，连接AE．
（1）求证：D是AC的中点；
（2）若CD=CF=4，求⊙O的直径；
（3）sin∠CAE=k（k＞0），求 $数学公式$ 的值．

（1）证明：连接DB，
∴AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴DB⊥AC．
又∵AB=BC．
∴D是AC的中点．

（2）解：在△ADB和△ABF中，
∵∠ADB=∠ABF=90°，∠DAB=∠FAB，
∴△ADB∽△ABF．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴AB=4 $\text{[math]}$

（3）解：∵∠CAE=∠CBD，
又∵∠CBD=∠ABD，
∠ABD=∠F，
∴sin∠CAE=sin∠F=k．
设AB=ak，AF=a，
由△ADB∽△ABF， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得AD=ak²，
∴AC=2ak²，CF=a-2ak²；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接BD，由圆周角定理知BD⊥AF，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得D是AC的中点．
（2）若CD=CF=4，那么AD=4，易证得△ABD∽△AFB，根据所得比例相等即可求得AB的长．
（3）由圆周角定理知∠CAE=∠ABD，因此sin∠F=sin∠ABD=k，可设AB=ak，则AF=a，AD=ak²，进而可表示出AC、FC的值，即可得到CF、AB的比例关系．
点评：此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质以及相似三角形的判定和性质，能够根据圆周角定理发现∠CAE和∠ABD的等量关系是解答（3）题的关键．