Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点A，点E为线段AB中点，∠ABO的平分线BD与y轴相较于点D，点A、C关于点O对称．

（1）求线段DE的长；

（2）一个动点P从点D出发，沿适当的路径运动到直线BC上的点F，再沿射线CB方向移动2个单位到点G，最后从点G沿适当的路径运动到点E处，当P的运动路径最短时，求此时点G的坐标；

（3）将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角度α（0＜α≤180°），在旋转过程中DE所在的直线分别与直线BC、直线AC相交于点M、点N，是否存在某一时刻使△CMN为等腰三角形，若存在，请求出CM的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（，）；（3）6+﹣3或6++3或2﹣2或8.

【解析】

（1）想办法证明DE⊥AB，利用角平分线的性质定理证明DE＝OD即可解决问题；

（2）过点E作EE′∥BC，点E′在x轴下方且EE′＝2，作点D关于直线BC的对称点D′，连接E′D′交BC于F，在射线CB上取FG＝2．此时D→F→G→E的路径最短．

（3）分三种情形：①如图1中，当CM＝CN时，在AE上取一点P，使得AP＝PN．设EN＝x．②如图2中，当MN＝MC时，作BP⊥MN于P，则四边形ADPB是矩形．③如图3中，当NC＝MN时，D与N重合，作DP⊥BC于P．分别解直角三角形即可解决问题.

解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点A，

∴A（0，3），B（，0），

∴OA＝3，OB＝，

∴tan∠ABO＝＝，

∴∠ABO＝60°，

∵BD平分∠ABO，

∴∠DBO＝30°，

∴OD＝OBtan30°＝1，DB＝2OD＝2，

∴AD＝DB＝2，

∴AE＝EB，

∴DE⊥AB，∵DO⊥OB，DB平分∠ABO，

∴DE＝DO＝1．

（2）过点E作EE′∥BC，点E′在x轴下方且EE′＝2，作点D关于直线BC的对称点D′，连接E′D′交BC于F，在射线CB上取FG＝2．此时D→F→G→E的路径最短．

∵E′（，），D′（2，﹣1），

∴直线D′E′的解析式为，直线BC的解析式为y＝x﹣3，

由，解得，，

∴F ．

把点F向上平移3个单位，向右平移个单位得到点G，

∴G（）．

（3）以点A为圆心，以AE为半径作⊙A，则DE为⊙A的切线．

①如图1中，当CM＝CN时，在AE上取一点P，使得AP＝PN．设EN＝x．

∵CM＝CN，∠MCN＝30°，

∴∠CNM＝∠CMN＝75°，

∴∠ANE＝∠CNM＝75°，

∴∠EAN＝15°，

∴∠PAN＝∠ANP＝15°，

∴∠EPN＝30°，

∴PN＝AP＝2x，PE＝x，

∴2x+x＝，

∴x＝2﹣3，

∴AN＝，

∴CM＝CN＝=．

②如图2中，当MN＝MC时，作BP⊥MN于P，则四边形ADPB是矩形，PB＝AE＝，

在Rt△PBM中，∠PBM＝30°，

∴BM＝2，

∴CM＝BC﹣BM＝2﹣2．

③如图2﹣1中．CM＝CN时，同法可得CM＝．

④如图3中，当NC＝MN时，D与N重合，作DP⊥BC于P．

∵CD＝6+2＝8，∠DCP＝30°，

∴PC＝PM＝4，

∴CM＝8

综上所述，满足条件的CM的值为或或2﹣2或8．