Question

（a）在一次考试中，已知至少有三分之二的题目属于难题．在这些难题中，每一道题至少有三分之二的学生不会作．请问下列情况是否可能发生：至少答对三分之二题数的学生人数不少于全部考生人数的三分之二．
（b）承（a），若将其中所有的“三分之二”换成“四分之三”呢？
（c）承（a），若将其中所有的“三分之二”换成“十分之七”呢？

Answer 1

解：（a）假定简单题那三分之一全班都做出来了，那么问题就变成：是否可能对于所有的难题，至少有三分之二的学生答对了这所有的难题的一半．因为每一道难题至少有三分之二的学生不会作，也就是至多有三分之一的学生会做，不妨设会做的一定能答对，那么就是至多有三分之一的学生能答对．取最大可能，就是对于每一道难题，总会有三分之一的学生能答对．
所以，对于n道难题，将n平分到两个学生的群体中（即的学生平分为两组），每组都答对了道题，即答对了所有的难题的一半．
综上，“至少答对三分之二题数的学生人数不少于全部考生人数的三分之二”是可能发生的，
对于（b），（c），用同样的方法可以得到结果：都不会发生；
对于小于的情况，都有可能；
对于大于的情况，都不可能，（b），（c）就属于这一类．
分析：（a）由于题目中未知条件较多，故假定简单题那三分之一全班都做出来了，将问题转化化为“是否可能对于所有的难题，至少有三分之二的学生答对了这所有的难题的一半”，再进行推理．
（b）、（c）与（1）类似．
点评：此题考查了可能性的大小，解题关键是用假设法得出满足条件的最大可能情况，从而进行判断．