Question

【题目】已知，如图抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段AB上方的抛物线上的一个动点．

求抛物线的解析式；

过点P作于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点P的坐标，和PQ最大值；

过点P作x轴的垂线交线段AB于点M，再过点P作轴交抛物线于点N，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为；（3）或．

【解析】

（1）根据题意利用待定系数法将点、代入抛物线的顶点式即可求出；

（2）由题意过点P作与点M，交AB于点N，作于点G，并设直线AB解析式为与求出解析式，进而设其中，则，建立关系式并运用配方法求得点P的坐标和PQ最大值；

（3）根据题意可知若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE，设点P的横坐标为a，表示出PD、PE的长，列出关于a的方程，解之可得答案．

解：抛物线过点、，

设抛物线解析式为，

将点代入，得：，

解得：，

所以抛物线解析式为；

如图1，过点P作与点M，交AB于点N，作于点G，

设直线AB解析式为，

将点、代入，得：

解得：

则直线AB解析式为，

设其中，

则，

，

，

，

当时，点P的坐标为，的面积有最大值，最大值为，

，，

，

，

，

，

即，

解得：，

最大值为；

如图2，

若为等腰直角三角形，

则，

设点P的横坐标为a，点N的横坐标为b，

，，

则，

，

，

解得：或，

所以或．