Question

如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．
（1）求证：BF=2FP；
（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接PN，由中位线性质得到PN∥AB，且PN=

1

2

AB，则△ABF∽△NPF，得到

BF

FP

=

AF

FN

=

AB

PN

=2，即可证得结论；
（2）如图2，取AF的中点G，连接MG，由中位线性质得到MG∥EF，AG=GF=FN．得到△NEF∽△NMG，则根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和三角形同高面积的比等于底边的比得到S_△NEF=

1

4

S_△MNG=

1

4

×

2

3

S_△AMN=

1

4

×

2

3

×

1

4

S_△ABC=

1

24

S．

解答：（1）证明：如图1，连接PN，
∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，
∴PN∥AB，且PN=

1

2

AB．
∴△ABF∽△NPF，
∴

BF

FP

=

AF

FN

=

AB

PN

=2．
∴BF=2FP．

（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，
∴MG∥EF，AG=GF=FN．
∴△NEF∽△NMG，∴S_△NEF=

1

4

S_△MNG
=

1

4

×

2

3

S_△AMN
=

1

4

×

2

3

×

1

4

S_△ABC
=

1

24

S．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了三角形中位线的性质和同高的三角形面积的比等于底边的比．