题目内容

如图，平面直角坐标系xOy中，A $数学公式$ ，B（4，0）．将△OAB绕点O顺时针旋转a角（0°＜a＜90°）得到△OCD（O，A，B的对应点分别为O，C，D），将△OAB沿x轴负方向平移m个单位得到△EFG（m＞0，O，A，B的对应点分别为E，F，G），a，m的值恰使点C，D，F落在同一反比例函数 $数学公式$ （k≠0）的图象上．
（1）∠AOB=°，a=°；
（2）求经过点A，B，F的抛物线的解析式；
（3）若（2）中抛物线的顶点为M，抛物线与直线EF的另一个交点为H，抛物线上的点P满足以P，M，F，A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等（点P不与点H重合），请直接写出满足条件的点P的个数，并求位于直线EF上方的点P的坐标．

解：（1）∵A $\text{[math]}$ ，
∴tan∠AOB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠AOB=30°，
∴OA=4，
∴当∠BOC=30°时，点C坐标为（2 $\text{[math]}$ ，-2），
∴∠DOK=30°，点D的坐标为（2，-2 $\text{[math]}$ ）
∴点C与D在反比例函数上，
∴a=60°；

（2）∵A $\text{[math]}$ ，B（4，0），
△OAB绕点O顺时针旋转a角得到△OCD，（如图1）
∴OA=OB=OC=OD=4．
由（1）得∠BOC=30°=∠AOB．
∴点C与点A关于x轴对称，点C的坐标为 $\text{[math]}$ ．
∵点C，D，F落在同一反比例函数 $\text{[math]}$ （k≠0）的图象上，
∴k=x_C•y_C=-4 $\text{[math]}$ ．
∵点F是由点A沿x轴负方向平移m个单位得到，
∴y_F=2， $\text{[math]}$ ，
点F的坐标为（-2 $\text{[math]}$ ，2）．
∴点F与点A关于y轴对称，
可设经过点A，B，F的抛物线的解析式为y=ax²+c．
∴ $\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$ ，
∴所求抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+8；

（3）满足条件的点P的个数为5个．
抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+8的顶点为M（0，8）．
∵△EFG是由△OAB沿x轴负方向平移m个单位得到，
∴m=FA=4 $\text{[math]}$ ，x_E=x_O-m=-4 $\text{[math]}$ ，
∠FEG=∠AOB=30°．
∴点E的坐标为（-4 $\text{[math]}$ ，0）．
可得直线EF的解析式为y= $\text{[math]}$ x+4．
∵点H的横坐标是方程 $\text{[math]}$ 的解，
整理，得 $\text{[math]}$ ．
解得 $\text{[math]}$ ．
∴点H的坐标为 $\text{[math]}$ ．
由抛物线的对称性知符合题意的
P₁点的坐标为 $\text{[math]}$ ．
可知△AFM是等边三角形，∠MAF=60°．
由A，M两点的坐标分别为A $\text{[math]}$ ，M（0，8），
可得直线AM的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+8．
过点H作直线AM的平行线l，
设其解析式为y=- $\text{[math]}$ x+b（b≠8）．
将点H的坐标代入上式，得 $\text{[math]}$ ．
解得 $\text{[math]}$ ，直线l的解析式为 $\text{[math]}$ ．
∵直线l与抛物线的交点的横坐标是方程
$\text{[math]}$ 的解．
整理，得 $\text{[math]}$ ．
解得 $\text{[math]}$ ．
∴点P₂ $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，
四边形P₂MFA的面积与四边形MFAH的面积相等．（如图2）
点P₂关于y轴的对称点P₃也符合题意，
其坐标为P₃ $\text{[math]}$ ．
综上所述，位于直线EF上方的点P的坐标分别为P₁ $\text{[math]}$ ，P₂ $\text{[math]}$ ，P₃ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由点A $\text{[math]}$ ，由特殊角的三角函数值，即可求得∠AOB的度数，又由OA=4=OD，可知当∠BOC=30°时符合题意，则可求得α的度数；
（2）由点C的坐标，即可求得反比例函数的解析式，点F是由点A沿x轴负方向平移m个单位得到，而且点F也在反比例函数上，即可求得点F的坐标，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）首先求得点E的坐标，即可求得直线EF的解析式，与抛物线组成方程组，即可求得H的横坐标，求得P点的坐标，利用三角形面积法求得其它P点的坐标即可．
点评：此题考查了旋转、平移的性质，反比例函数与二次函数的知识，待定系数法求解析式以及求点的坐标等知识．此题综合性很强，难度很大，注意数形结合思想的应用．