题目内容

如图(1)，两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，且⊙O2过点O1，过点M作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O2于A，B两点，连结NA，NB。

(1)猜想点O2与⊙O1有什么位置关系，并给出证明；
(2)猜想△NAB的形状，并给出证明；
(3)如图(2)，若AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么(2)中的结论是否仍然成立，若成立请给出证明；若不成立，请说明理由。

解：(1)在上；
证明：∵过点，
∴，
又∵的半径也是r，
∴点在上；
(2)△NAB是等边三角形；
证明：，
，
∴BN是的直径，AN是的直径，
即BN=AN=2r，在BN上，在AN上，
连结，则是△NAB的中位线，
∴，
∴AB=BN=AN，则△NAB是等边三角形；
(3)仍然成立；
证明：由(2)得在中所对的圆周角为60°，
在中所对的圆周角为60°，
∴点A、B在点M的两侧时，
在中所对的圆周角，
在中所对的圆周角，
∴是等边三角形。
练习册系列答案
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精英家教网已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为
 
，C的坐标为
 
，D的坐标为
 
；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
（2013•廊坊一模）圆的滚动问题探索：
（1）如图1，一个半径为r的圆沿直线方向从A地滚动到B地，若AB的长为m，则该圆在滚动过程中自转了
m
2πr
m
2πr
圈．（用含的式子表示）
试验：
现有两个半径相等的圆（如图5），将⊙O2固定，⊙O1沿定圆的周围滚动，滚动时两圆保持相外切的位置关系．当⊙O1沿⊙O2周围滚动一周回到原来的位置时，⊙O1自转了2圈，而⊙O1的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是⊙O1的周长的2倍．
（2）如图2，⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R（R＞r），现将⊙O2固定，让，⊙O1沿⊙O2的周围滚动，滚动时两圆保持相外切的位置关系．当⊙O1沿⊙O2沿周围滚动一周回到原来的位置时，⊙O1自转了
R+r
r
R+r
r
圈；

（3）如图3，⊙O1，和⊙O2内切，⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R（R＞r），现将⊙O2固定，让，⊙O1沿⊙O2的边缘滚动，动时两圆保持相内切的位置关系．当⊙O1沿⊙O2边缘滚动一圈回到原来的位置时，⊙O1自转了
R-r
r
R-r
r
圈．
解决问题：
如图4，一个等边三角形与它的一边相切的圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由．
如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线的最短距离．
阅读理解：
条件：
如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+AB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小．
应用：
（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是
5
5
；
（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是
2
3
2
3
．
精英家教网如图，圆柱底面半径为
2
π
cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　）
A、12cm
B、
97
cm
C、15cm
D、
21
cm