如图1.直线y=-2x+4与x轴.y轴相交于点A.B.抛物线经过A.B两点.点C在抛物线上.抛物线的顶点为点D.直线l垂直于x轴．(1)求抛物线的解析式,(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P.使△PBD是以BD为腰的等腰三角形?如果存在.直接写出P点的坐标,如果不存在.请说明理由,(3)如图2.直线l在线段OA上平行移动.分别交x轴于点G.交AB于点M.交抛物线于点E.作EF⊥AB于点F� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图1，直线y=-2x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线经过A、B两点，点C（-1，0）在抛物线上，抛物线的顶点为点D，直线l垂直于x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBD是以BD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l在线段OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点G，交AB于点M，交抛物线于点E，作EF⊥AB于点F．若点M的横坐标为m，求线段EF的最大值．

分析（1）易求得A、B坐标，利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2）作出图形，找出P点的位置，即可解题；
（3）易用m表示线段EM的长度，再求得EM和EF的长度关系即可解题．

解答解：（1）直线y=-2x+4与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别是A（2，0）、B（0，4），
设所求的函数解析式为y=ax²+bx+c，把点A（2，0）、B（0，4）、C（-1，0）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=2，c=4，
∴y=-2x²+2x+4；
（2）存在，作出图形，抛物线解析式为y=-2x²+2x+4，
∴顶点D的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
①如图①，此时BD=DP；P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；

②如图②，此时BD=DP；P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；

③如图③，此时BD=BP；P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）；
；
（3）由题意可设M（m，-2m+4），E（m，-2m²+2m+4），
则EM=-2m²+2m+4-（-2m+4）=-2m²+4m；
∵在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵y轴∥EG，
∴△AOB∽△AGM，
∴$\frac{AG}{AM}$=$\frac{OA}{AB}$；
∵在△EMF和△AMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGM=∠EFM=90°}\\{∠AMG=∠EMF}\end{array}\right.$，
∴△EMF∽△AMG，
∴$\frac{AG}{AM}$=$\frac{EF}{EM}$，
∴$\frac{EF}{EM}$=$\frac{AG}{AM}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（-2m²+4m）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m-1）²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴当m=1时，线段EF的长有最大值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．