Question

如图已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：
∴抛物线的解析式为 ：
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图所示，
若△ABO∽△AP₁D，则
∴DP₁=AD=4  ,∴P₁
若△ABO∽△ADP₂ ，过点P₂作P₂ M⊥x轴于M，AD=4,
∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP₂是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P₂M，即点M与点C重合,∴P₂（1，2）
（3）如图设点E则 ，
①当P₁(-1,4)时，S_{四边形AP1CE}=S_{三角形ACP1}+S_三角形ACE =
∴    ∴
∵点E在x轴下方 ∴
代入得： ,即 ∵△=(-4)²-4 ×7=-12<0
∴此方程无解
②当P₂（1，2）时，S_{四边形AP2CE}=S_{三角形ACP2}+S_三角形ACE =
∴    
∴
∵点E在x轴下方  
∴  代入得：
即 ，
∵△=(-4)²-4 ×5=-4<0
∴此方程无解
∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E.