Question

面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD=DC，DE⊥AB于E，则DE=

 

．

Answer 1

分析：连接BD，发现等腰直角三角形ACD和BDE．设⊙O的半径为R，DE=x，首先根据AC把四边形ABCD分割成的两个三角形的面积进行计算，求得AB+BC=6

2

，再根据DE把四边形ABCD分割成的两部分的面积进行计算，即可求解．

解答：解：如图，连接BD，
因为AC是直径，
所以∠ADC=90°．
因为AD=DC，
所以∠ACD=45°，
所以∠ABD=45°，又∠DEB=90°，
所以△DEB为等腰直角三角形，
所以DE=BE．
设⊙O的半径为R，DE=x，则
18=R2+

1

2

•AB•BC，
∵AB²+BC²=4R²，
∴（AB+BC）²=4R²+2•AB•BC=4R²+2（36-2R²）=72，
AB+BC=6

2

，
又

1

2

(BC+x)•x+

1

2

(AB-x)•x=18，
∴

1

2

（AB+BC）x=18，
则x=3

2

．
故答案为：3

2

．

点评：此题的难度较大，综合运用了圆周角定理的推论、勾股定理和图形的面积计算方法．