Question

如图，一只蜘蛛结了一张很大的网，直线MN、PQ与x轴所夹的锐角都为60°，第1个结点A₁在原点上，此后各个结点均按逆时针排列，同一直线上相邻两个结点之间的距离都是1个单位长，那么第91个结点A₉₁的坐标为

 

．

Answer 1

分析：根据已知条件得出第91个结点A₉₁为第十五个正六边形，交QP于点A₉₁且在x轴下方，再根据特殊角的三角函数值即可得出点A₉₁的坐标．

解答：解：∵第1个结点A₁在原点上，此后各个结点均按逆时针排列，并且组成的为正六边形，
∴A₁+6x=91，解得x=15，
∴第91个结点A₉₁为第十五个正六边形，交QP于点A₉₁且在x轴下方，
∴A₁A₉₁的长度为15，
∵PQ与x轴所夹的锐角都为60°，
∴cos60°=

x

15

=

1

2

，得出x=

15

2

，
cos30°=

y

15

=

3

2

，得出y=

15

2

3

，
∵所交点在x轴下方，
∴点A₉₁的坐标为（

15

2

，-

15

2

3

），
故答案为（

15

2

，-

15

2

3

）．

点评：本题考查了等边三角形的性质，利用特殊角的三角函数值即可得出结果，难度较大．