Question

在平面直角坐标系中点A（8，6），点B（8，0），点P（5，0），若过点P的直线m交线段OA于点M，若以点O、P、M为顶点的三角形与△AOB相似，则点M的坐标为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：由A，B两点的坐标可知AB⊥OB，所以△ABO是直角三角形，若以点O、P、M为顶点的三角形与△AOB相似，则△OPM是直角三角形，并且OP可以为直角边也可以为斜边，分别讨论求出不同情况下M的坐标即可．

解答：解：∵点A（8，6），点B（8，0），点P（5，0），
∴AB=6，OB=8，OP=5，
∴OA=

AB2+0B2

=10，
①当△OPM′∽△OBA时，
∴

OP

OB

=

PM′

AB

，
∴PM′=

15

4

，
∵OP=5，
∴点M的坐标为（5，

15

4

）；
②当△OPM∽△OAB时，过M作MN⊥OB交OB于N，
∴

OP

OA

=

OM

OB

，
∴OM=4，
∴

4

10

=

MN

6

，
∴MN=

12

5

，
∴ON=

16

5

，
∴点M的坐标为（

16

5

，

12

5

），
故答案为：(5，

15

4

)或(

16

5

，

12

5

)．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及平面直角坐标系中点的坐标特征等知识．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．